Franz-Josef Elmer

Differentialgleichungen in der Physik

Verlag Harri Deutsch, 1997, ISBN 3-8171-1550-4

Inhaltsverzeichnis

1	Einleitung			7
	1.1	Grundbegriffe		7
	1.2	Nützliche Lösungsstrategien		11
		1.2.1	Das Reduktionsprinzip	11
		1.2.2	Das Superpositionsprinzip	14
		1.2.3	Das Prinzip des passenden Ansatzes	14
		1.2.4	Das Transformationsprinzip	15
		1.2.5	Näherungsmethoden und Numerische Integration	16
2	Gewöhnliche Differentialgleichungen erster Ordnung			17
	2.1	Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung		18
	2.2	Nichtlineare Differentialgleichungen erster Ordnung		21
		2.2.1	Transformationsmethoden	22
3	Lineare, gewöhnliche Differentialgleichungen			27
	3.1	Homogene, lineare Differentialgleichungen		28
		3.1.1	Reduktionsverfahren von d'Alembert	30
		3.1.2	Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten	32
		3.1.3	Die Eulersche Differentialgleichung	36
		3.1.4	Die Potenzreihenentwicklung	37
		3.1.5	Das Sturm-Liouville-Problem	51
	3.2	Inhomogene lineare Differentialgleichungen		58
		3.2.1	Methode der Variation der Konstanten	58
		3.2.2	Integraltransformationen und Operatormethode	59
		3.2.3	Die Greensche Methode	65
4	Partielle Differentialgleichungen			71
	4.1	Separation der Variablen		73
	4.2	Die Greensche Methode für Anfangswertprobleme		77
	4.3	Methode der Charakteristiken		80
		4.3.1	Hyperbolische Differentialgleichungen erster Ordnung	80
		4.3.2	Hyperbolische Differentialgleichungen höherer Ordnung	85
5	Exakte Lösungen nichtlinearer Wellengleichungen			91
	5.1	Dispersive Wellen		91
	5.2	Schockwellen		93
		5.2.1	Nichtstetige Schockwellen	94
		5.2.2	Stetige Schockwellen	99
	5.3	Solitonen		102
		5.3.1	Inverse Streutheorie	103
		5.3.2	Die Hirota-Methode	105
		5.3.3	Andere Differentialgleichungen mit Solitonenlösungen	109
6	Qualitatives Verhalten nichtlinearer Differentialgleichungen			113
	6.1	Klassifikation nichtlinearer Differentialgleichungen		114
	6.2	Klassifikation der Lösungen		116
		6.2.1	Fixpunkte	117
		6.2.2	Grenzzyklen	120
		6.2.3	Quasiperiodische Bahnen	124
		6.2.4	Chaotische Bahnen	127
	6.3	Die dynamische Stabilität nichtwandernder Mengen		138
		6.3.1	Lineare Stabilitätsanalyse	139
	6.4	Bifurkationstheorie		145
		6.4.1	Stationäre Bifurkationen	147
		6.4.2	Hopf-Bifurkation	153
7	Näherungsmethoden			157
	7.1	Störungstheorien		158
		7.1.1	Die WKB-Methode	160
		7.1.2	Mehrskalenstörungstheorie	167
	7.2	Nichtstörungstheoretische Methoden		176
		7.2.1	Methode der kleinsten Abweichung	177
		7.2.2	Ritzsche Variationsmethode	178
		7.2.3	Projektionsmethoden	180
8	Numerische Lösungsmethoden			187
	8.1	Anfangswertprobleme		188
	8.2	Randwertprobleme		197
		8.2.1	Schießverfahren	197
		8.2.2	Relaxationsverfahren	199
A	Einige nützliche Methoden und Begriffe			205
	A.1	Zur Nomenklatur		205
	A.2	Lösungsmethoden für algebraische Gleichungssysteme		207
		A.2.1	Lineare Gleichungssysteme	207
		A.2.2	Nichtlineare Gleichungssysteme	209
	A.3	Fourier-Transformation		210
	A.4	Die Gamma-Funktion		212
	A.5	Die Diracsche Delta-Funktion		213
		A.5.1	Definition	213
		A.5.2	Eigenschaften und Rechenregeln	214
	A.6	Funktionale und Funktionalableitungen		215
B	Literatur			217

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